在数列的学习过程中，通项公式是理解数列规律、进行进一步分析的重要工具。对于一些特殊的数列，如等差数列、等比数列，我们有较为固定的通项公式。然而，面对更复杂的递推关系，传统的公式可能无法直接应用。这时，累积法就成为一种非常有效的求解通项的方法。
一、什么是累积法？
累积法是一种通过将递推关系式中的各项相乘或相加，从而得到通项表达式的方法。它适用于形如：
$$
a_n = a_{n-1} \cdot f(n)
$$
或者
$$
a_n = a_{n-1} + f(n)
$$
的递推关系。这类数列的每一项都与前一项存在某种确定的关系，而通过不断“累积”这些变化，可以逐步推导出通项表达式。
二、累积法的基本原理
1. 对于乘积型递推关系：
若数列满足：
$$
a_n = a_{n-1} \cdot f(n)
$$
则可以通过逐项展开的方式，将 $ a_n $ 表示为：
$$
a_n = a_1 \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot \ldots \cdot f(n)
$$
即：
$$
a_n = a_1 \prod_{k=2}^{n} f(k)
$$
这种形式称为乘积型累积法。
2. 对于和式型递推关系：
若数列满足：
$$
a_n = a_{n-1} + f(n)
$$
则可以展开为：
$$
a_n = a_1 + f(2) + f(3) + \ldots + f(n)
$$
即：
$$
a_n = a_1 + \sum_{k=2}^{n} f(k)
$$
这被称为和式型累积法。
三、实际应用举例
例1：乘积型递推
已知数列 $ \{a_n\} $ 满足：
$$
a_1 = 2, \quad a_n = a_{n-1} \cdot n \quad (n \geq 2)
$$
我们可以用累积法求其通项：
$$
a_n = a_1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n = 2 \cdot n!
$$
所以通项为：
$$
a_n = 2 \cdot n!
$$
例2：和式型递推
已知数列 $ \{b_n\} $ 满足：
$$
b_1 = 1, \quad b_n = b_{n-1} + 2n \quad (n \geq 2)
$$
我们利用累积法计算：
$$
b_n = b_1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + 2 \cdot n = 1 + 2(2 + 3 + \ldots + n)
$$
利用等差数列求和公式：
$$
2 + 3 + \ldots + n = \frac{(n+1)(n)}{2} - 1
$$
因此：
$$
b_n = 1 + 2 \left( \frac{n(n+1)}{2} - 1 \right) = 1 + n(n+1) - 2 = n^2 + n - 1
$$
四、累积法的适用条件
- 递推关系必须是线性的；
- 递推关系中，当前项只依赖于前一项；
- 函数 $ f(n) $ 必须是可累加或可累积的形式。
五、总结
累积法作为一种实用的数学工具，广泛应用于数列的通项求解中。它通过逐项展开递推关系，将复杂的问题转化为简单的乘积或和式运算，具有直观、易操作的特点。掌握累积法不仅能提高解题效率，还能加深对数列结构的理解。
在实际学习中，建议多做相关练习题，熟练掌握不同类型的递推关系对应的累积方式，从而灵活运用这一方法解决各类数列问题。
