【数列求和公式】在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数。数列求和是将这些数依次相加的过程。不同的数列有不同的求和方式，掌握常见的数列求和公式对于解决实际问题非常有帮助。以下是对常见数列求和公式的总结。

一、等差数列求和公式

等差数列是指每一项与前一项的差为定值的数列。设首项为 $ a_1 $，末项为 $ a_n $，项数为 $ n $，则其求和公式如下：

$$

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

$$

或

$$

S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d

$$

其中 $ d $ 是公差。

二、等比数列求和公式

等比数列是指每一项与前一项的比为定值的数列。设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，项数为 $ n $，则其求和公式如下：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

当 $ r < 1 $ 时，无限等比数列的和为：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

三、自然数列求和公式

自然数列是从 1 开始的连续整数数列，即 $ 1, 2, 3, ..., n $。其求和公式为：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)}{2}

$$

四、平方数列求和公式

平方数列是 $ 1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2 $，其求和公式为：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$

五、立方数列求和公式

立方数列是 $ 1^3, 2^3, 3^3, ..., n^3 $，其求和公式为：

$$

S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

$$

六、其他常见数列

除了上述基本数列外，还有一些特殊数列如调和数列、斐波那契数列等，它们的求和通常没有简单的闭合表达式，但可以通过递推或其他方法进行计算。

总结表格

通过掌握这些数列求和公式，可以快速地对各种数列进行求和运算，提高解题效率。在实际应用中，还需要根据具体情况进行选择和调整。