【排序不等式】排序不等式是数学中一个重要的不等式，广泛应用于数列、不等式证明和优化问题中。它揭示了两个有序序列在对应相乘时的极值关系，具有简洁而深刻的数学美感。
一、排序不等式的定义
设有两个有序实数序列：
$$
a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \\
b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n
$$
则有以下不等式成立：
$$
a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + a_2b_{\sigma(2)} + \cdots + a_nb_{\sigma(n)} \geq a_1b_n + a_2b_{n-1} + \cdots + a_nb_1
$$
其中，$\sigma$ 是 $1, 2, \ldots, n$ 的一个排列。
即：同序相乘之和最大，逆序相乘之和最小。
二、排序不等式的理解
排序不等式的核心思想在于“相同顺序的乘积之和最大，相反顺序的乘积之和最小”。这与我们日常生活中的一些经验相符，例如：
- 若你有一组价格和一组数量，按价格从低到高与数量从高到低匹配，总金额会最低；
- 反之，若按价格从低到高与数量从低到高匹配，总金额会最高。
三、排序不等式的应用
| 应用领域 | 具体例子 |
| 数学证明 | 用于证明其他不等式（如均值不等式） |
| 经济学 | 在资源分配、定价策略中优化收益 |
| 算法设计 | 在贪心算法中选择最优配对方式 |
| 优化问题 | 在最优化问题中寻找极值解 |
四、排序不等式的实际例子
设两组数为：
$$
a = [1, 2, 3], \quad b = [4, 5, 6
$$
按照同序排列：
$$
1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32
$$
若进行逆序排列：
$$
1×6 + 2×5 + 3×4 = 6 + 10 + 12 = 28
$$
若进行任意排列（如 $[1×5, 2×6, 3×4]$）：
$$
5 + 12 + 12 = 29
$$
由此可见，同序排列的结果最大，逆序排列的结果最小。
五、总结
排序不等式是一个简单却强大的数学工具，它揭示了数列之间乘积和的最大与最小值之间的关系。掌握这一不等式有助于我们在数学证明、经济分析以及算法设计中更高效地解决问题。
| 内容 | 说明 |
| 定义 | 同序乘积和最大，逆序乘积和最小 |
| 应用 | 数学证明、经济学、算法设计等 |
| 特点 | 简洁、直观、实用 |
| 实例 | 通过具体数值验证排序不等式的正确性 |
通过理解和运用排序不等式，我们可以更深入地把握数学中的秩序与规律，提升逻辑思维能力与问题解决能力。
