【导数公式大全】在微积分的学习过程中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的导数公式，不仅有助于理解函数的性质，还能在实际问题中快速求解变化率、极值点等关键信息。以下是对常见导数公式的总结，便于查阅与学习。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、导数的运算法则
| 法则名称 | 公式 |
| 常数倍法则 | $ [Cf(x)]' = C f'(x) $ |
| 加减法法则 | $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $ |
| 乘法法则（莱布尼茨法则） | $ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $（$ g(x) \neq 0 $） |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、高阶导数简介
对于某些函数，可以求出其二阶、三阶甚至更高阶的导数，用于分析函数的凹凸性、拐点等性质。例如：
- $ f(x) = x^3 $，则 $ f''(x) = 6x $
- $ f(x) = \sin x $，则 $ f'''(x) = -\cos x $
四、隐函数与参数方程的导数
当函数以隐式或参数形式给出时，需要使用隐函数求导法或参数求导法：
- 隐函数求导：对两边同时求导，然后解出 $ \frac{dy}{dx} $
- 参数方程求导：若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} $
五、总结
导数是微积分的核心内容之一，熟练掌握各类函数的导数公式及其应用规则，有助于提高数学分析能力。无论是基础的幂函数、指数函数，还是三角函数和复合函数，都有对应的导数表达式。通过不断练习和应用，可以更深入地理解导数的实际意义与计算方法。
希望这份“导数公式大全”能成为你学习和复习的好帮手。
