【均值不等式公式是哪四个?】在数学中，均值不等式是一类重要的不等式，广泛应用于代数、分析、优化等领域。常见的均值不等式有四种，分别是算术平均-几何平均不等式（AM-GM）、几何平均-调和平均不等式（GM-HM）、平方平均-算术平均不等式（QM-AM）以及加权均值不等式。以下是对这四个均值不等式的总结。
一、算术平均-几何平均不等式（AM-GM）
定义：对于任意非负实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $，有：
$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
$$
当且仅当 $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $ 时，等号成立。
应用：常用于最优化问题、不等式证明等。
二、几何平均-调和平均不等式（GM-HM）
定义：对于任意正实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $，有：
$$
\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}
$$
当且仅当 $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $ 时，等号成立。
应用：常用于涉及倒数的平均问题，如平均速度计算。
三、平方平均-算术平均不等式（QM-AM）
定义：对于任意实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $，有：
$$
\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}
$$
当且仅当 $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $ 时，等号成立。
应用：常用于误差分析、统计学中的方差计算等。
四、加权均值不等式
定义：设 $ w_1, w_2, \dots, w_n $ 是正权重，满足 $ w_1 + w_2 + \cdots + w_n = 1 $，则对于任意正实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $，有：
$$
w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n \geq a_1^{w_1} a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n}
$$
当且仅当 $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $ 时，等号成立。
应用：在经济学、概率论、信息论中有广泛应用。
总结表格
| 均值类型 | 公式表达 | 条件 | 等号成立条件 |
| 算术平均-几何平均 (AM-GM) | $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$ | 非负实数 | $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ |
| 几何平均-调和平均 (GM-HM) | $\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$ | 正实数 | $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ |
| 平方平均-算术平均 (QM-AM) | $\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ | 实数 | $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ |
| 加权均值不等式 | $w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n \geq a_1^{w_1} a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n}$ | 正实数，权重和为1 | $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ |
以上就是关于“均值不等式公式是哪四个？”的详细解答。这些不等式不仅具有理论价值，也在实际应用中发挥着重要作用。
